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北海道苫小牧市出身の初老の日常

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上限下限の存在に対する命題の、イコールの取り扱い

数学

久々に数学やると混乱するので、メモです。

nとmを自然数とし、P(n) を 整数nについての命題とすると、

  • (1). \exists n > 0, \forall m > n, P(m) \Leftrightarrow \exists n > 0, \forall m \ge n, P(m)

は真ですが、

  • (2). \exists n > 0, \forall m < n, P(m) \Leftarrow \exists n > 0, \forall m \le n, P(m)

の右方向は成立しません。

(1)の証明

  • \Rightarrow 左辺を満たすn' > 0が存在するので、n=n' + 1 > 0 とすれば すべての m≧n=n'+1>n' についてP(m)は成立
  • \Leftarrow 右辺を満たすn' > 0が存在するので、n=n' > 0とすればすべての m>n=n' についてP(m)は成立

(2)の右方向が成立しない証明。

凡例を示す。P(n) を n≦0 とする。このとき、左辺の命題は n=1 で成立するが、右辺は成立しない。

右辺が成立しないことの証明

\forall n>0に対して、m=1(≦n) の時にP(n)は成立しない。後はドモルガンの法則。*1

*1:\forall n>0, \exists m \le n, \sim P(n) \Leftrightarrow \forall n>0, \sim ( \forall m \le n, P(n) ) \Leftrightarrow \sim ( \exists n > 0, \forall m \le n, P(n) )