第一回「層・圏・トポス 現代的集合像を求めて」勉強会出てきました。現役の数学科の方も居て、久々に楽しい時間を過ごしました。やっぱ数学は最大の娯楽ですね!
層・圏・トポス―現代的集合像を求めて
竹内 外史
さて、その中で出た話。全単射な射があれば同型になりそうな気がしてしまいますが、
monoでepiでもisoとは限らない
と言うのが実情です。id:m-hiyamaさんが紹介なさっている、しりとりの圏が、実はその例に該当するようです*1。
一応証明しますよ
以下、射を「あ◯...◯い」(「◯...◯」は任意の文字列とする。長さ0文字も可。)、 domとcodを「あ」「い」とするが、任意の射と対象について同じことが言えます(dom = codでもOK)。
「あ◯...◯い」がmono(単射)であること
任意の対象「う」から「あ」への、「あ◯...◯い○う×...×あ = あ◯...◯い○う△...△あ」を満たす任意の2つの射「う×...×あ」「う△...△あ」について、仮定より「う×...×◯...◯い = う△...△◯...◯い」となる。これから、「×...× = △...△」*2なので、「う×...×あ = う△...△あ」となる。
以上よりmonoの性質を満たす。
「あ◯...◯い」がepi(全射)であること
任意の対象「い」から「う」への、「い×...×う○あ◯...◯い = い△...△う○あ◯...◯い」を満たす任意の2つの射「い×...×う」「い△...△う」について、monoであることの証明と同様の議論で「い×...×う = い△...△う」となる。
以上よりepiの性質を満たす。
*1:空前のしりとりブームが来てるのは偶然??
*2:これはちょっと自明じゃないかな。lengthが等しいことはすぐ出るから、それから結論出していいのかなあ。
*3:∵あが恒等射
*4:◯と△が空文字列でも、「あい = あ」