第二回「層・圏・トポス 現代的集合像を求めて」勉強会 に行って来ました。今回は現役数学科の方が居なかったので、進行はゆっくりでした。頭痛で大変だった*1ので懇親会はめちゃめちゃ行きたかったけどパス。
で、最後に話題になったのが、P59の「Setsではepiな射は全射の写像となっている」の証明が背理法だとやだって話。(確か id:oto-oto-oto さんが)背理法使わない方法を話してたんですが、あのとき聞き流してしまって今になって納得したのでメモっときます。
証明
書くのダルいんでさらっと。
写像 f:A→B が epiな射 とします。
集合Cとして {0, 1} なる二つの元からなる集合。写像 k,h: B→C を、 k(b) = 0 と h(b in f(A)) = 0、h(b not in f(A)) = 1 として定義します。
すると、h￮f = k￮f となる*2ので、 f が epiな射と言う前提から h(b) = k(b) = 0 *3。これは言い換えると b in f(A) で、また、これは全てのb in B について言えるので、f は 全射となります。
感想
この証明を見ると、Setsにおいて全射の性質をとらえるだけなら、上の証明内の C と k と h に対してだけ epi の規則が守られてれば十分ってことになります。そう言う意味では、圏における定義ってのは結構強力な制限なんだなと感じました。
