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北海道苫小牧市出身の初老PGが書くブログ

永遠のプログラマを夢見る、苫小牧市出身のおじさんのちらしの裏

米田のレンマの「自然同型」

前回のエントリの続きです。

1. P74 Sets^(C^op)(Y_C(),F) と Fが自然同型ってなんでわかるの?

これ、改めて見るとP71の定理6より強いことを言ってるのですね。id:oto-oto-otoさんが強調されていた「自然」ってのは、これのことだとようやくわかりました。


で、この話は Sets^C(Y^C(),F) ≅ F であれば定理6の証明中のφを対象Cに対するコンポーネントと見なせば、(1)φ_C の集まりが自然変換、(2)各φ_Cはiso、となりますので言えます。

(2)は定理6の主張です*1。(1)は頑張って可換図を書いて自然変換になるか見る必要があります。C1 -f-> C2 に対して可換図を書いて計算してみると、左下周りでも右下周りでも 自然変換 s を s_c2(f) に移す写像となり、可換であることがわかります。可換を確認した時のノートを張っておきますが、ご覧の通り結構大変な確認となります。相変わらず行間が厚いです*2

*1:Setsの圏なので写像全単射=圏のiso。

*2:行間が薄過ぎる本はつまらないので、適度に厚いのはいいこと。