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北海道苫小牧市出身の初老PGが書くブログ

永遠のプログラマを夢見る、苫小牧市出身のおじさんのちらしの裏

層・圏・トポス P88 - ベキ対象と随伴

math

P87-88に書かれているのは、おおざっぱに言えば「-×Aの右随伴が存在 ⇔ ∀CについてC^Aやev_Cが存在」という話です。書籍だけではちょっと曖昧な部分があるのでフォローします。

題意

書籍では左辺はともかく右辺がちょっと曖昧です。マクレーン本清水本から拾うと、以下のような感じです。

「∀C∈|C|, ∃C^A∈|C|, ∃ev_C∈C s.t. ∃1 hat(f)∈C, (hat(f)×id);ev_C = f」です*1

証明

⇒は書籍の通りでほぼ十分です*2。⇐を見ます。

右随伴となる関手を構成

関手-^A を作ります。対象の対応は前提にあるC^AでOKです。後は射f:C1→C2の対応としてf^Aを作る必要がありますが、これは以下のように定義します。

  • f^A = hat(ev_C1;f)
定義した-^Aが関手か

hatの一意性から、恒等射の保存と合成の保存が言えます。詳細は略。


右随伴となるか

Hom(B×A, C) ≃ Hom(B, C^A)の間の対応を作り、自然同型になるかみます。これは書籍にある通り、右向きφは f↦hat(f)で、左向きφ'は(f×id);ev_C↤fです。

この対応が全単射であること

φ○φ' = id と φ'○φ = id を言います。前者はhatの一意性から、後者は自明です。

この対応が自然であること

これも詳細は略しますが、2つの相関手Hom(-×A, -)とHom(-, -^A)について満たすべき可換図を書き、可換になることを確かめます。

φ'を使い、h∈Hom(-, -^A)から始めると楽です。-×Aは関手*3なんで、(f;g)×id = (f×id);(g×id) を使えます。後はhatとevの可換図と、f^Aの定義(最初に定義した)を使えばすぐ出ます。


まとめ

これで、Aに対して-^Aが作れ、この関手が-×A ⊣ -^Aとなることが言えたので、⇐を示したことになります。

余談

層圏トポスではベキのある圏の定義に終対象の存在を入れていますが、ここまでの議論では必要ない気がします。清水本やマクレーン本*4でも特に条件に入ってない気がします。

*1: \hat{f}のことをhat(f)と書きます。

*2:hat(f)の唯一性を言ってないが、計算すれば(たぶん)すんなり出てきます。

*3:これも層圏トポスでは明らかとしか出てないので、自分で示しましょう。

*4:カルテシアン閉圏を考えると必要になりますが