メルカトル図法

地図表示について、緯度と経度をx座標とy座標と見なして画像を描画するだけでしょ、くらいに甘く考えていたのだが、そんな単純な話ではなかった。そもそも地球は丸くて地図は平面なんだから、緯度経度を平面上の (x, y) 座標と見なせるわけがないのだ。

球面と平面が違うことくらい知っているつもりでいたのが、 wikipedia の以下の説明を読んで自分がいかに甘く考えていたか、思い知らされた。

ja.wikipedia.org

そもそも球面上では「３つの角がすべて90度である正三角形」もありえて、これを「正しく」地図上に描くことは不可能である。

言われてみれば確かにそうだ。やはり平面上の常識で考えるのは良くない。

そもそも、地図とはなんなのだろう。我々がよく使う google map は、メルカトル図法だそうだ。中学生で習ったはずが、恥ずかしながら全く覚えていない。残念ながら、「球面を四角にした地図」という程度のまったく正確ではない知識しか持ち合わせていなかった。

メルカトル図法は球を円筒に投影しているだけではなく、角度を正確に保つために緯度方向の縮尺を変えているそうだ。ああ、それで先日使った staticmap クレートの y 軸方向の計算式は妙だったのか。

github.com

/// Latitude to y coordinate.
pub fn lat_to_y(mut lat: f64, zoom: u8) -> f64 {
    if !(-90_f64..90_f64).contains(&lat) {
        lat = (lat + 90_f64) % 180_f64 - 90_f64;
    }

    (1_f64 - ((lat * PI / 180_f64).tan() + 1_f64 / (lat * PI / 180_f64).cos()).ln() / PI) / 2_f64
        * 2_f64.powi(zoom.into())
}

直感的にわかる lon_to_x と明らかに雰囲気が違う。

/// Longitude to x coordinate.
pub fn lon_to_x(mut lon: f64, zoom: u8) -> f64 {
    if !(-180_f64..180_f64).contains(&lon) {
        lon = (lon + 180_f64) % 360_f64 - 180_f64;
    }

    ((lon + 180_f64) / 360_f64) * 2_f64.powi(zoom.into())
}

では、この lat_to_y の計算式はどのように導出されるのだろう？ 広島大学が、いい感じの文書を出している。大学初年度の解析学を実際に使う教材としてメルカトル図法を題材にしているようだ。

https://home.hiroshima-u.ac.jp/teragai/mercator.pdf

この pdf はこれからじっくり読むとして、地図のことを調べるに連れ、 geohash などの定義はどうなっているのかも気になってきた。緯度経度で定義しているとすると、それをメルカトル図法の地図上に表示するときれいな長方形になるのだろうか？

色々と調べてみる必要がある。

常微分方程式論p.63問2.9(1)

y''を別の関数におけば階数を下げられるところまでは簡単にわかるけど、そこからさらにy'''をpと置いてy''をxとpの関数と思えばxで微分をして解けると言うところは完全に忘れてたので調べた。

常微分方程式論p.62例題2.17

リュウビルの微分方程式を自力で解いた。正直、一般解が求まってるのかいないのか、よくわからないところで計算が終わっている。

常微分方程式論p.61

完全系の概念をn階に拡張。積分因子もまた出てきた。

常微分方程式論p.60例題2.16

例題を自力で解いた。合成関数の微分でミスると言う体たらくぶり。分母と分子を逆にすると言うポカミスもかます。

不定積分はどこまで計算してどこからは計算しなくていいのか、判断に迷うところ。

2023 年に読んだ数学の本

2024 年となった。 2023 年の～というものは本来 2023 年中に書くべきなのだろうが、子供が生まれてからというものそんな余裕はない。昨夜も、夜通しマインクラフトにつきあわされた（それはそれでゲーマーの父としては楽しいのだが）。

夜更かしした子供も含め、家族はもちろんまだ寝ているのだが、自分はきっちりと 7 時に目が覚める。これも子育てを始めてからの習慣だ。子供に醜態は晒せぬ、と言う義務感はもちろんあるのだが、そもそも長時間の睡眠ができない体になってきている。齢四十六、完全にアラフィフである。

さて、 2023 年には以下の二冊を読んだ・・・というか、かじった。最近は自転車に乗りすぎていて時間がないので、平日の朝 15 分、小問 1 問を解くという読み方をしている。つまり、ほとんど読めておらず、どちらの本も序盤までしか読めていない。

詳解と演習大学院入試問題 - 海老原 円, 太田 雅人

数学の本を読んでも知識が身につく感じがしないから、問題を解きたいと同僚に話したところ進められたのが、大学院入試の問題を解くことだった。雑に amazon で検索してポチったのがこちら。

著者の先生の思想が強めで、読んでいてハラハラするし面白くもある。とはいえ、数学とその教育について意欲がある方であることは間違いない。線形代数や解析学など、基本的な考えが身についているのかを確かめられるのは楽しかった。ただ、当たり前ではあるが入試テクニック集なので、定理の導出や背景については何も触れられておらず、問題は解けるけどなんでこうなるかわからないし何をやっているかもわからないとなりがちだった気がする。

常微分方程式論 - 柳田 英二, 栄 伸一郎

前述の問題集を読んでいたのだが、多変数解析あたりで何も頭に入らなくなったため、 2023 年の後半は積んであった微分方程式の本を読むことにした。高校卒業以来、微分方程式にまともに向き合ったことがなかったので、読んでみると色々な気づきがあって本当に面白い。常微分方程式、正規形、変数分離型、一階線形微分方程式など、クラス分けも全く知らなかった。様々なテクニックを使って微分方程式を解く演習をやっていると、過去の人類は本当によく考えたなあと感心する。

ただ、未だにこの分野のノリについていけていないところはある。カジュアルに両辺を式で割り出すと、 0 にならないのか気になりだす。 の も両辺にかけるし、その割に特異解の議論では例外ケースをきちんときにしなければならなくなる。解析学も、死ぬまでにはもっとわかるようになりたいなあと思って止まないのである。

確率と測度

定義を忘れないようにまとめ。用語とかは以下の本のもの。

はじめての確率論 測度から確率へ
佐藤 坦

• Ωを標本空間となる集合とする。これは任意の集合でよい。
• σ-集合体
  • Ωの部分集合の集合B⊂P(Ω)がσ-集合体 ⇔ Ω∈B、a∈B⇒a^C∈B、A_k∈B⇒∪A_k∈B (加算無限和)
  • σ集合体Bについて、(Ω, B)を可測空間という
  • 定理: 任意の部分集合属S⊂P(Ω)について、Sを含む最小のσ-集合体σ[S]が唯一存在
  • ボレル集合体
    • 距離空間(E, d)について、開集合Oで生成されるσ[O]
    • ユークリッド空間R^d上のボレル集合体をB_dと書く
    • ユークリッド空間だと、 B_d = σ[J_d] (ただし、J_d := {(a_1, b_1]×...×(a_d, b_d]}) と書ける
• 加速空間(Ω, B)、mをB上の関数(ただし値域はR∪±∞)とする。mが測度とは、「0 <= m(A) <= ∞」「m(φ) = 0」「m(∪A_k) = ��m(A_k)、ただし可算」を満たすこと
  • m(Ω_n) < ∞ なる Ωの分割Ω_nが存在する時、σ-有限測度
  • m(Ω) < ∞のとき、有限測度
  • (Ω, B, m)を測度空間と呼ぶ
  • 確率測度とは、測度mで「m(Ω)=1」のもの
• 可測空間(Ω, B)に対して可測関数X:Ω→Rとは「∀α. {ω:X(ω)>α}∈B」
  • Xが確率変数とは、Xが可測関数であるということ
• 可測空間(Ω, B)(Ω', B')に対して、T:Ω→Ω'が可測写像とは、「b’∈B'⇒T^-1(b')∈B」
  • Xが可測関数(ただし∞はとらない)であることと(R, B_1)への可測写像であることは同値
• Ωの分割A_k∈Bとa_kによってX(ω)=��a_k I_{A_k}(ω)と書ける時、Xを単関数という
  • ただし、I_{A_k}(ω)は、ω∈A_kなら1、それ以外のときは0
  • 単関数は定義より可測
• 確率変数Xについて、E[X]=lim E[X_n]を期待値という
  • {X_n}はX(ω)=lim X_n(ω)なる単関数列で、存在する
  • E[X_n]=��a_k P(A_k)と定義する(ただしX_n(ω)=��a_k I_{A_k}(ω))
• 測度空間(Ω, B, μ)、A∈Ω、可測関数fに対して、∫_A f dμ := lim (��a_k P(A_k∩B))と定義できる
  • このインテグラルの定義により、 E[X] = ∫_B X dμと書ける。
• ボレル可測空間上の測度をボレル測度と呼ぶ
  • ルベーグ測度とは、任意の区間Iに対してμ(I)が区間の体積となっているようなボレル測度のこと
  • ルベーグ測度は一意に存在する
• 確率変数Xの分布μ_Xとはμ_X(A)=P(X^-1(A))で定義される(R, B_1)上の測度
  • Xは可測写像(関数)なのでAが可測集合ならX＾-1(A)も可測集合であることに注意

続く。