確率と測度

定義を忘れないようにまとめ。用語とかは以下の本のもの。

はじめての確率論 測度から確率へ
佐藤 坦

• Ωを標本空間となる集合とする。これは任意の集合でよい。
• σ-集合体
  • Ωの部分集合の集合B⊂P(Ω)がσ-集合体 ⇔ Ω∈B、a∈B⇒a^C∈B、A_k∈B⇒∪A_k∈B (加算無限和)
  • σ集合体Bについて、(Ω, B)を可測空間という
  • 定理: 任意の部分集合属S⊂P(Ω)について、Sを含む最小のσ-集合体σ[S]が唯一存在
  • ボレル集合体
    • 距離空間(E, d)について、開集合Oで生成されるσ[O]
    • ユークリッド空間R^d上のボレル集合体をB_dと書く
    • ユークリッド空間だと、 B_d = σ[J_d] (ただし、J_d := {(a_1, b_1]×...×(a_d, b_d]}) と書ける
• 加速空間(Ω, B)、mをB上の関数(ただし値域はR∪±∞)とする。mが測度とは、「0 <= m(A) <= ∞」「m(φ) = 0」「m(∪A_k) = ��m(A_k)、ただし可算」を満たすこと
  • m(Ω_n) < ∞ なる Ωの分割Ω_nが存在する時、σ-有限測度
  • m(Ω) < ∞のとき、有限測度
  • (Ω, B, m)を測度空間と呼ぶ
  • 確率測度とは、測度mで「m(Ω)=1」のもの
• 可測空間(Ω, B)に対して可測関数X:Ω→Rとは「∀α. {ω:X(ω)>α}∈B」
  • Xが確率変数とは、Xが可測関数であるということ
• 可測空間(Ω, B)(Ω', B')に対して、T:Ω→Ω'が可測写像とは、「b’∈B'⇒T^-1(b')∈B」
  • Xが可測関数(ただし∞はとらない)であることと(R, B_1)への可測写像であることは同値
• Ωの分割A_k∈Bとa_kによってX(ω)=��a_k I_{A_k}(ω)と書ける時、Xを単関数という
  • ただし、I_{A_k}(ω)は、ω∈A_kなら1、それ以外のときは0
  • 単関数は定義より可測
• 確率変数Xについて、E[X]=lim E[X_n]を期待値という
  • {X_n}はX(ω)=lim X_n(ω)なる単関数列で、存在する
  • E[X_n]=��a_k P(A_k)と定義する(ただしX_n(ω)=��a_k I_{A_k}(ω))
• 測度空間(Ω, B, μ)、A∈Ω、可測関数fに対して、∫_A f dμ := lim (��a_k P(A_k∩B))と定義できる
  • このインテグラルの定義により、 E[X] = ∫_B X dμと書ける。
• ボレル可測空間上の測度をボレル測度と呼ぶ
  • ルベーグ測度とは、任意の区間Iに対してμ(I)が区間の体積となっているようなボレル測度のこと
  • ルベーグ測度は一意に存在する
• 確率変数Xの分布μ_Xとはμ_X(A)=P(X^-1(A))で定義される(R, B_1)上の測度
  • Xは可測写像(関数)なのでAが可測集合ならX＾-1(A)も可測集合であることに注意

続く。