層・圏・トポス P78 の解釈

oto-oto-otoさんからのヒントを元に、消化してみました。

1. P.78 の、上から二つ目の図が何を意味するのか

P78の上から二つ目の図の右側を読み解いてみます。

随伴なので、自然な同型対応*1 O_A,B: A(FB,A)→B(B,UA) が与えられますが、これは当然 O_A',B も与えてくれます。つまり、FB→A' と B→UA' の間に自然な同型対応がある，と言うのは当然のことです。

さて、このことを図示してみます。こんな可換図が書けます。この可換図の下部だけを見れば、A(FB,A)なるhに対して、O_A',B は h;f を O_A,B(h);Uf に対応させる写像となることがわかります。これが id:oto-oto-oto さんが最後に書かれていた式です。

と言うことで、この図式に関しては、

• ∀A,B について、 ∀f∈A(A,A') を決めると、
  • h;f と O_A,B(h);Uf は、 O_A',B によって 1-1、onto で対応する *2
  • 先ほどの可換図が成立すると言う意味で自然

と言う辺りが結論になるのでしょうか？

7/14 追記

やっと理解しました。誤解がありました。*3

誤解していたこと

この図式 が、新たな随伴や新たな自然変換、新たな自然な全単射写像(O'_A,B のようなもの)を導入する表記だと思っていた。

正しいと思われる読み方

FとUの間にはすでに随伴がありますので、この図式の上下の関係はFとUの随伴関係によって与えられる自然な同型写像 O_A',B です。この O_A',B が、この図式の上で表される射と下で表される射を対応させることを表しています。

つまり、「随伴によって与えられる自然な同型写像の、性質を表す図式」と読むのが正解だと思います*4。

*1:自然同型のコンポーネント、でいいと思います。

*2:ontoは、任意のO_A,B(h);Uf に対して h;f を作れるので自明。また可換図よりこの対応はO_A'Bとなり、これによって 1-1 も自明だから。

*3:完全に誤解していたことで、勉強会の日に正しい解釈をしていた人に混乱を与えていたかも・・・すみませんでした。

*4:もっと具体的に書けば、「(関手F:B->AがUの左随伴で与えられる自然な同型写像をO_A,Bと表す時、 ∀A,B,A',f:A->A',h:FB->A について、) O_A',B(h;f) = O_A,B(h);Uf」と読む