層・圏・トポス P79 定理8 (1)→(2)の証明

もう一つの宿題です。

2. P.80 一番上の図式からP79のf'の可換図が言えるのか

一応、図式ではなく数式に翻訳して解釈してみます。翻訳方法は昨日のエントリの追記部分です。

証明

簡単のため、 O_A,B の 逆向きの同型写像を O_B,Aで表す*1。

η_B:B→UFB を、 O_FB,B(id_FB)で定める。

f:B→UAに対し、f' を O_A,B(f)とする。

f'が可換図を満たすこと

P80の図式より、

f = O_A,B(O_B,A(f)) ← O_B,Aの定義
  = O_A,B(f')       ← f'の定義
  = O_A,B(id_FB;f') ← 恒等射を追加
  = O_FB,B(id_FB);Uf' ← 昨日のエントリ
  = η_B;Uf'          ← η_Bの定義

f'が唯一であること*2

可換図の証明を逆に辿れば、η_B;Uf' = O_A,B(f')。

f'とf''が共に可換図を満たすとすると、η_B;Uf' = f = η_B;Uf'。つまり、O_A,B(f') = O_A,B(f'')。O_A,Bが単射なので、f' = f''。

よし、これでスッキリですね！！

*1:i.e. O_B,A = O_A,B^-1

*2:勉強会の時はO_A,Bの全単射性からf'が唯一と言ってしまったが、それでは不十分。すみませんでした。