CLTT読書会のまとめです。1.3.1の(i)の"if"の証明を酒井さんが解いて下さったので、その図を載せときます。まず、示さなきゃいけないのは、問題文のようなhが与えられたとき、(u,f)がCartesianであること。つまり、以下の図の青字のような任意の(v,g):(K,Z)→…

タイトルはかなり釣りです:-) まあ、間違えているかもしれないので内容の判断は自己責任で。さて、元ネタはこちらなのですが、独自のモナド節を唱えていて非常に怪しい。と言うことで、怪しくならないように真面目に解説してみます。ちなみに、このエントリ…

久々に出席してきました。今回で1章の層が全部終わりました。1章は個人的には全部読んでいたのですが、やはりディスカッションすると理解が深まっていいですね。同じ本を読んでいる人とディスカッションするってのは大事だと感じました。ということで、次回…

第十六回「層・圏・トポス 現代的集合像を求めて」勉強会に行ってきました。今日は自分に用事がある人*1と体調崩していた人が何人か居たので、予定を変更して16時で終了。前層から層を誘導する方法をやりました。初めから両立するものだけを集めて同値関係入…

昨日、コンボで参加してきました。層圏トポスは層の復習。位相がわからないときつい内容ですので、数学の素養がないと参加は厳しそうです。内容はとても面白いので、情報系に限らず学部レベルの数学を復習したい社会人や*1、学部生が参加するといいかもしれ…

参加してきました。時間の都合でスライドは途中まで。まあ、そんなに面白い発表ではなかったのでいいかとｗ 一応、今朝の修正分も入れた最新版に差し替えておきました。内容は今までの復習に近かったのですが、id:m-hiyamaさんとckuwataさんのカロウビ展開圏…

2009-11-21 の 層圏トポス寄せ鍋用のスライドです。Math::Category は自分の勉強用に実装した、 Perlで主に射の概念を抽象的に扱うためのモジュールです。現在、関手、自然変換、モナドの概念に対応してます。極限や随伴とかは実装してません。 Math::Catego…

第一回層圏トポス寄せ鍋(ATND)が行われるそうです。恐らく、圏論を勉強して半年くらいの初心者達が、ゆるく圏論について語り合う場になるんじゃないかと思います*1。圏の定義はとても簡単なのですが、抽象度の高さのために雲をつかんでいるような感覚に捕わ…

最後に出した例ですが、 module Main where main :: IO () main = getLine >>= putStrLn . reverse モナドで悟りをひらきたいのなら - 図でわかる(?)モナド さきほどのエントリの図が全部わかれば、以下のような図も書けますね。reverseをfmapで持ち上げて橋…

圏論の最大の武器はダイアグラムなので、モナドで悟りをひらきたいのならダイアグラムを使えばいいんじゃないでしょうか。 ダイアグラムの書き方 例えば、「 f :: a -> b 」とか「length :: [a] -> Int」は以下のように書きます。型を点で、関数を矢印で書き…

やっぱりパスタの会と言う名のcaty説明会に出席してきました。主催のid:m-hiyamaさんとckuwataさんはお疲れ様でした！catyスクリプトがライトさを目指しているのとは裏腹に、ガチガチの圏論の理論背景を持っているところがさすがはid:m-hiyamaさんと言った感…

出席してきました。本当に圏論の前提知識なしに米田のレンマまでぶっ通しで終わらせました。なんてひど・・・スピーディーな進行！しかし、米田祭だからといって米田のレンマを二度も証明するとは思いませんでした！！参加した方のために、参考資料を残して…

参加してきました。第2章「圏」が全部終わりました！！ (P90の層の部分除く)板書写真はこちらです。宿題は以下です。 P85の定理13やP89の5).、6).で使われる以下の性質の根拠 ∀X, C(X, A) ≃ C(X, B) ⇒ A ≃ B P89の6)の記法で、colim D_i とか lim C^{D_i} っ…

P87-88に書かれているのは、おおざっぱに言えば「-×Aの右随伴が存在 ⇔ ∀CについてC^Aやev_Cが存在」という話です。書籍だけではちょっと曖昧な部分があるのでフォローします。 題意 書籍では左辺はともかく右辺がちょっと曖昧です。マクレーン本や清水本から…

2009-10-10に、 Yoneda festival が開催されます。新たに圏論を勉強したい人向けの内容になりそうですので、Haskellのモナドで一度挫折を経験された方も、これを機にもう一度圏論に触れてみるというのはいかがでしょうか？ 第一回層圏トポス米田フェスティバ…

lim C(X,D-) が存在する時に lim D が存在するのか層・圏・トポス P85の定理11 反例を考えてみました。 反例 以下のように置きます。 圏C: HShiri(しりとりの圏) 圏D: 「い」「う」とidだけからなるHShiriの部分圏 関手D: DからCへの埋め込み 圏Cの対象X: な…

定理13の証明がよくわかりません・・・。とりあえずぱっと読んで消化できなかったのは、以下2点です。 A(FB, DA) ≃ B(B, UDA)は言えるけど、lim A(FB, D-) ≃ lim B(B, UD-) が言えるのか B(B, U lim D) ≃ B(B, lim UD) から、U lim D ≃ lim UD が言えるのか …

なんか猛烈に進んだようなので、キャッチアップ第一弾です。定理11の証明は書籍の説明のような感じなのですが、書籍中ではZがなんだか触れてなかったりZがいきなりlimに変わってたりするので、ちょっともやっとします。ってことで、行間を埋めてもうちょっと…

恒例の「層・圏・トポス 現代的集合像を求めて」勉強会ですが、用事があったので途中(15時)まで出てきました。ってことで、やった内容は前回の復習だけです。その後どこまで進んだかに関しては、他の方が公開してくれると思います！ 9/14追記 p88まで進んだ…

宿題の答です。 P82の定理9の証明で作った対応が、自然同型になるのか？ 対応は書籍に出てる通りですので、この対応で本当にいいのか確かめます。 記号 図を書くのがめんどくさいので、色々記号をつける。 D:D→C 圏C^Dの対象 i.e. 圏DからCの関手 (書籍と同…

第一回層圏トポス合宿へ行ってきました。写真はkuwataさんが撮ってくれてました。自分は二日目の途中(13:00-19:00)だけ居ました。以下、個人的なサマリです。自然変換のid:m-hiyamaさんの話が特に面白かったです。 域、余域、終域、始域、値域、定義域 p.b. …

みなさん合宿を頑張ってるはずですので、こちらも対抗して前回の宿題を終わらせました。*1 P80 3)から1)の証明で構成した関手Fは、射をどのように移すのか？ *1:モニャドセミナーの帰りに考えていたのはこの問題のことです。

モニャドセミナー４行ってきました。懇親会は体調不良でドタキャンでした*1、すみません。 コモノイド デュアル→射を逆に→2項演算も逆になる(写像にならない)、と端的に捉えて疑問に思ってしまったのですが、要は定義となるモナド風な可換図式*2の矢印を逆に…

もう一つの宿題です。 2. P.80 一番上の図式からP79のf'の可換図が言えるのか 一応、図式ではなく数式に翻訳して解釈してみます。翻訳方法は昨日のエントリの追記部分です。 証明 簡単のため、 O_A,B の 逆向きの同型写像を O_B,Aで表す*1。η_B:B→UFB を、 O…

oto-oto-otoさんからのヒントを元に、消化してみました。 1. P.78 の、上から二つ目の図が何を意味するのか P78の上から二つ目の図の右側を読み解いてみます。随伴なので、自然な同型対応*1 O_A,B: A(FB,A)→B(B,UA) が与えられますが、これは当然 O_A',B も…

第五回「層・圏・トポス 現代的集合像を求めて」勉強会終了です。お疲れさまでした。米田のレンマ、随伴関手と難易度がぐーんと上がって来ている気がします。消化不良だったのは以下の２点です。 P.78 の、上から二つ目の図が何を意味するのか P.80 一番上の…

第一回層圏トポス合宿(8月11日-12日)@代々木オリンピックセンターをやるそうです。まさに「待ったなし」の圏論。今回の趣旨は「新規参加者を迎える場所」とのことです。Wikipediaだけでモナドやら圏論やらを学ぼうとすると、あまりの難解さに挫折してしまう…

モニャドセミナー3に行ってきました。破壊的代入と単一代入をモノイドと見なせるってのは意外な発見でした。こういう例は非常に面白いです。最後に一気に解説があった"スタンピング"については、CATEGORY THEORY FOR COMPUTING SCIENCEのP365に Representati…

前回のエントリの続きです。 1. P74 Sets^(C^op)(Y_C(),F) と Fが自然同型ってなんでわかるの？ これ、改めて見るとP71の定理6より強いことを言ってるのですね。id:oto-oto-otoさんが強調されていた「自然」ってのは、これのことだとようやくわかりました。

kentaro714さんがFlickrに板書+メモを上げてくれてます。素晴らしい！勉強会の雰囲気を知りたい方はぜひご覧下さい。